Logikgatter und Disjunktive Normalform (DNF)
Willkommen im Kurs! In diesem Bereich erlernst du die Grundlagen der booleschen Algebra und der Logikgatter.
Interaktive Grundgatter-Aktivierung
Fülle die Ausgangsspalte Y für die beiden Grundgatter aus und überprüfe deine Lösung.
AND-Gatter (Konjunktion: Y = A ∧ B)
| A (Eingang 1) | B (Eingang 2) | Y (Ausgang) |
|---|---|---|
| 0 (falsch) | 0 (falsch) | |
| 0 (falsch) | 1 (wahr) | |
| 1 (wahr) | 0 (falsch) | |
| 1 (wahr) | 1 (wahr) |
OR-Gatter (Disjunktion: Y = A ∨ B)
| A (Eingang 1) | B (Eingang 2) | Y (Ausgang) |
|---|---|---|
| 0 (falsch) | 0 (falsch) | |
| 0 (falsch) | 1 (wahr) | |
| 1 (wahr) | 0 (falsch) | |
| 1 (wahr) | 1 (wahr) |
Die Disjunktive Normalform (DNF)
Die DNF ist eine standardisierte Darstellung logischer Funktionen. Sie besteht aus einer OR-Verknüpfung von UND-Blöcken (Mintermen).
Schritt-für-Schritt-Anleitung über die Wahrheitstabelle
- Berechne die komplette Spalte des Ausgangs Y.
- Suche alle Zeilen heraus, bei denen der Ausgang 1 (wahr) ist.
- Bilde für jede dieser Zeilen ein Produkt (∧) aller Variablen: Ist eine Variable 0, nutze die Negation (¬A), ist sie 1, bleibt sie normal (A).
- Verknüpfe diese Blöcke am Ende mit einem ODER (∨).
Übungsaufgabe: Wahrheitstabelle vervollständigen
Gegeben ist die Schaltung der logischen Verknüpfung: Y = ¬(A ∧ B) ∨ ¬B. Fülle die Ausgangsspalte Y aus.
| A | B | NAND: ¬(A ∧ B) | NOT: ¬B | Y (Ausgang) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 0 |
Aus den drei Zeilen mit dem Ergebnis 1 ergibt sich die finale DNF:
YDNF = (¬A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)
Speicherbausteine & Das RS-Flipflop
Logikgatter alleine haben kein Gedächtnis – ändert sich der Eingang, reagiert der Ausgang sofort. Um Daten zu speichern, nutzen wir die Rückkopplung: Der Ausgang eines Gatters wird zurück auf den Eingang des anderen Gatters geführt.
Das RS-Flipflop aus NOR-Gattern
Ein klassisches RS-Flipflop besteht aus zwei kreuzgekoppelten NOR-Gattern (ODER-Gatter mit anschließender Negation, im IEC-Symbol als „≥1“ mit Negationskreis am Ausgang dargestellt). Das genaue Schaltbild und die Herleitung dazu findest du in Modul 3.
Interaktive Steuertabelle
| S (Setzen) | R (Rücksetzen) | Qneu (Ausgang) | Beschreibung |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | Speichern | |
| 0 | 1 | Rücksetzen | |
| 1 | 0 | Setzen | |
| 1 | 1 | Nicht erlaubt / Instabil |
Der Schaltdurchlauf (Chronologie)
Wie verhalten sich die Signaländerungen genau, wenn wir einen Eingang umschalten? Jedes Gatter besitzt eine winzige Verzögerungszeit. Wir betrachten ein RS-Flipflop aus zwei kreuzgekoppelten NOR-Gattern.
Schaltplan: NOR-Kreuzkopplung
Das obere NOR-Gatter besitzt den Reset-Eingang (R), das untere den Set-Eingang (S). Jeder Gatterausgang wird auf den zweiten Eingang des jeweils anderen Gatters zurückgeführt (Rückkopplung):
Zur Erinnerung: Das „≥1“ im Rechteck steht für das ODER-Prinzip, der kleine Kreis am Ausgang für die anschließende Negation (NOT). Zusammen ergibt das ein NOR-Gatter.
Chronologischer Ablauf: Wir schalten S von 0 auf 1
Ausgangssituation (Ruhezustand, „0“ gespeichert):
Die Eingänge sind S = 0 und R = 0. Am oberen Ausgang liegt Q = 0 an, am unteren Ausgang liegt Q̄ = 1 an.
- Schritt 1 (Das untere Gatter reagiert): Der Benutzer setzt den Eingang
S = 1. Am unteren NOR-Gatter liegen nun die EingängeS = 1und die über die Rückkopplung kommendeQ = 0an. Da bei einem NOR-Gatter eine einzige 1 am Eingang reicht, um den Ausgang auf 0 zu zwingen, schaltet der untere Ausgang um: Q̄ springt von 1 auf 0. - Schritt 2 (Das Signal wandert): Die neue Information
Q̄ = 0wandert über die Kreuzkopplungsleitung nach oben zum Eingang des oberen NOR-Gatters. - Schritt 3 (Das obere Gatter reagiert): Am oberen NOR-Gatter liegen nun zwei Nullen an: das unveränderte
R = 0und das neu angekommeneQ̄ = 0. Ein NOR-Gatter liefert genau dann eine 1, wenn alle Eingänge 0 sind. Daher schaltet das obere Gatter um: Q springt von 0 auf 1. - Schritt 4 (Stabilisierung): Die neue
Q = 1fließt zurück zum unteren Gatter. Dort liegt nunS = 1undQ = 1an. Dies bestätigt und fixiert das bereits am Ausgang anliegende SignalQ̄ = 0. Die Schaltung ist im Zustand „1 gespeichert“ stabil eingependelt.
Addierwerke (Halbaddierer)
Rechenwerke verarbeiten Binärzahlen mathematisch. Die einfachste Stufe ist der Halbaddierer (HA). Er berechnet die Summe aus zwei einzelnen Bits A und B.
Interaktive Wahrheitstabelle des Halbaddierers
| A | B | Übertrag C (Carry) | Summe S |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ||
| 0 | 1 | ||
| 1 | 0 | ||
| 1 | 1 |
Erkenntnis für den Schaltungsaufbau
Aus der Tabelle lässt sich direkt ablesen, wie ein Halbaddierer aufgebaut werden muss:
- Der Übertrag C ist nur wahr (1), wenn A und B wahr (1) sind. Das ist ein AND-Gatter:
C = A ∧ B. - Die Summe S ist wahr (1), wenn entweder A oder B wahr ist, aber nicht beide. Das ist ein XOR-Gatter (Exklusiv-Oder):
S = A ⊕ B.
Das Rätsel: Was leisten 4 Halbaddierer?
Ein einzelner Halbaddierer hat ein Problem: Er kann keinen Übertrag aus einer vorherigen Spalte verarbeiten. Dafür benötigt man eigentlich einen Volladdierer. Schaltet man jedoch genau 4 Halbaddierer geschickt zusammen, erhält man einen vollwertigen 2-Bit-Addierer.
Aufgabe: Zeichne den Schaltplan
Du hast vier identische Halbaddierer (HA1–HA4) zur Verfügung – sonst nichts. Verschalte sie so, dass sie zwei 2-Bit-Zahlen X = X₁X₀ und Y = Y₁Y₀ vollständig addieren und das Ergebnis als 3-Bit-Zahl S₂S₁S₀ ausgeben (z. B. max. 3 + 3 = 6).
- Einerstelle: X₀ und Y₀ lassen sich direkt mit einem einzigen Halbaddierer verarbeiten.
- Zweierstelle: Hier reicht ein Halbaddierer nicht – X₁ und Y₁ müssen zusätzlich mit dem Übertrag aus der Einerstelle verrechnet werden. Das gelingt mit zwei Halbaddierern hintereinander.
- Finaler Übertrag: Am Ende bleiben zwei mögliche Überträge übrig, die nie gleichzeitig 1 sein können. Überlege, wie ein vierter Halbaddierer diese beiden zu einem einzigen, korrekten Übertragsbit S₂ zusammenführen kann.
Zeichne deinen Schaltplan – die vier HA-Blöcke mit allen Ein- und Ausgängen und Verbindungen – auf Papier oder in deinem Heft. Klappe erst danach die Lösung auf.
Lösung anzeigen
Wissenstest: Teste dein Verständnis
Acht Fragen zu allen fünf Modulen – von der DNF bis zum 4-HA-Rätsel. Falsch und wahr werden weiterhin als 0 und 1 abgebildet. Beantworte alle Fragen und werte sie am Ende gemeinsam aus.